ENERO

03 de Enero del 2017

Media y varianza de variables aleatorias continuas.

Definición.-
Sean:
X= variable aleatoria continua.
f(x)= Función de densidad de probabilidad de X.
Entonces se dice que:
La media o esperanza es igual a:



La varianza V(x) es igual a:

NOTA: Se cumple las propiedades de media y varianza para una variable aleatoria discreta.
EJEMPLO:

06 de Enero del 2017

--------Distribución de Bernoulli--------

La distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito (p) y valor 0 para la probabilidad de fracaso (q=1-p).

Si X es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli de parámetro P.

--------Distribución Binomial--------

La distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una Probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad Q = 1 - P. En la distribución Binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para N = 1, la Binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

n = Número de eventos. 

k = Número de éxitos. 

p = Probabilidad de éxito. 

q = probabilidad de fracaso. 

F(X=k)= Probabilidad de obtener "k" éxitos en un número "n" de ensayos.

Sus propiedades son:

EJEMPLO
Cual es la probabilidad de que encontremos 10 basureros dañados de 50 ubicados en el barrio San Isidro del Inca si se sabe que la probabilidad de que estén dañados es de 17%.

N= 50

K= 10

P= 17% → 0.17%

Q= 83% → 0.83%

       50!          *(0.17)^10  *(0.83)^40 = 0.12

  (50-10)! 10! 

La probabilidad de encontrar 10 basureros dañados de 50 tomados es del 12%, con una distribución Binomial.



10 de Enero del 2017

--------Distribución de Poisson--------


 X~Po (λ)

Características:

El número de sucesos es independiente en cada intervalo.
X es una variable aleatoria discreta con valores enteros positivos
Lambda es un valor constante positivo (esperanza)
La probabilidad de hallar más de un suceso en un subintervalo tiende a 0.
El número promedio de sucesos por intervalo es proporcional al tamaño del intervalo.

si n > 29 y p < 0.05 entonces:
 λ= E(x) = V(x ) = n

Cuando nos dan un tiempo en el que ocurren los sucesos:

Fórmula que nos indica la probabilidad de que r eventos ocurran en un tiempo t.

13 de Enero del 2017

--------Distribución Geométrica--------

Características:
- La variable aleatoria sólo puede  tomar dos posibles resultados: éxito o fracaso.
- X representa el número de intentos antes de obtener el primer éxito
- Todos los ensayos son independientes e idénticos
- Se hace el experimento n veces
- La probabilidad de éxito(p) es constante


Variable aleatoria discreta: x
x:{1,2,3,....n}
P(Éxito)= p
P(Fracaso)= q= 1-p
n: Número de pruebas o ensayos
k : Número de éxitos,
A 'k' se le puede también denotar con una 'x' minúscula

x--->Geo(p)

                       

Para Distribuciones Geométricas:

E(x)=1/p

Var(x)=(1-p)/(p^2)

--------Distribución Binomial Negativa--------

Características:
- La variable aleatoria sólo puede  tomar dos posibles resultados
- X representa el número de ensayos hasta obtener el éxito r-ésimo éxito
- Todos los ensayos son independientes e idénticos
- Se hace el experimento n veces


Variable aleatoria discreta: x
x:{0,1,2,3,....n}
P(Éxito)= p
P(Fracaso)= q= 1-p
n: Número de pruebas o ensayos
k : Número de éxitos,
A 'k' se le puede también denotar con una 'x' minúscula

x--->NB(r,p)

17 de Enero del 2017.

--------Distribución Uniforme Discreta--------

Una variable aleatoria X, que puede tomar un número infinito de valores 1,2,....,n, cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir, se dice que sigue una ley de distribución uniforme discreta. Es decir,
P(x=k)=1/n, k=1,2,3,....,n.

Su esperanza es igual a  E(x)=(n+1)/2    y su varianza  V(x)=(n2 -1)/12

Características:
La variable aleatoria toma cada uno de sus valores con idéntica probabilidad.
La media de una variable aleatoria discreta uniforme, coincide con uno de los valores de la misma observados en el experimento.
La varianza de una v.a.d no depende del número de valores que pueda tomar una variable.

--------Distribución  Hipergeométrica--------

Se refieren a los experimentos que consiste en tomar muestras sin reposición, de un conjunto finito, el cual contiene resultados considerados "éxitos" y "fracasos".

Definición:
N:Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra.
k:Cantidad de elementos considerados como éxitos.
n:tamaño de la muestra.
x:v,a,d ( cantidad de resultados exitosos).

X~H(X,N,k,n)

Su función de probabilidad estará dada por:

x=0,1,2,....,n

Su esperanza y varianza serán  iguales a:

--------Distribución Uniforme Continua--------

Características:
Su probabilidad es constante en el intervalo [a,b].
La probabilidad en cada punto esta dada por 1/(b-a).
Fuera del intervalo [a,b] la probabilidad es 0.

Se denota X~U[a,b]